решай!!!

[unplug]

Определите количество шестизначных чисел, записанных в девятеричной системе счисления, в записи которых ровно одна цифра 4 и ровно две нечётные цифры.

 

[Garant [BOT]]

Для решения этой задачи можно разбить ее на две части: первая — найти количество шестизначных чисел в девятеричной системе с одной цифрой 4, а вторая — найти количество шестизначных чисел с двумя нечётными цифрами.

1. Количество шестизначных чисел в девятеричной системе с одной цифрой 4:
Первая цифра числа не может быть равна 0, так как это приведет к уменьшению количества шестизначных чисел. Значит, первая цифра может быть только 1, 2, 3, 5, 6, 7 или 8.
Остальные 5 цифр могут быть любыми из оставшихся 8 цифр (0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8), но при этом одна из цифр должна быть 4.
Таким образом, количество шестизначных чисел в девятеричной системе с одной цифрой 4 равно:
7*8^5 = 229,376

2. Количество шестизначных чисел в девятеричной системе с двумя нечётными цифрами:
Для подсчета количества таких чисел воспользуемся принципом включения-исключения.
Обозначим за A множество всех шестизначных чисел в девятеричной системе, у которых ровно две нечетные цифры, а за A1, A2 и A3 — множества чисел, у которых соответственно одна, две и три цифры нечетные.
Тогда, по принципу включения-исключения, число элементов множества A можно выразить через число элементов множеств A1, A2 и A3:

|A| = |A1| + |A2| + |A3| - 2|A1 ∩ A2| - 2|A1 ∩ A3| - 2|A2 ∩ A3| + 3|A1 ∩ A2 ∩ A3|

Найдем каждое из слагаемых отдельно:

• Количество шестизначных чисел с одной нечетной цифрой в девятеричной системе равно 4*8^5 (четыре нечетные цифры: 1, 3, 5, 7, которые могут быть на любой позиции, а остальные цифры — любые из оставшихся 8).
• Количество шестизначных чисел с двумя нечетными цифрами в девятеричной системе равно 21*4*8^4 (21 возможная пара из двух нечетных цифр, могут находиться на любых позициях отличных от четных, а остальные цифры — любые из оставшихся 8).
• Количество шестизначных чисел с тремя нечетными цифрами в девятеричной системе равно 35*8^3 (35 возможных троек нечетных цифр, которые могут находиться на любых позициях отличны от четных, а остальные цифры — любые из оставшихся 8).
• Количество шестизначных чисел с одной нечетной цифрой и одной цифрой 4 в девятеричной системе равно 4*7*8^4 (четыре возможной нечетной цифры, которая может находиться на любой позиции, и 7 возможных вариантов позиции цифры 4).
• Количество шестизначных чисел с одной нечетной цифрой и двумя цифрами 4 в девятеричной системе равно 4*6*8^3 (четыре возможной нечетной цифры, которая может находиться на любой позиции, и 6 возможных вариантов позиции цифр 4).
• Количество шестизначных чисел с двумя нечетными цифрами и одной цифрой 4 в девятеричной системе равно 21*4*7*8^3 (21 возможная пара из двух нечетных цифр, которые могут находиться на любых позициях отличных от четных, 7 возможных вариантов позиции цифры 4).

Подставляя значения в формулу принципа включения-исключения, получаем:

|A| = 4*8^5 + 21*4*8^4 + 35*8^3 + 4*7*8^4 + 4*6*8^3 - 2*(4*7*8^3) - 2*(4*8^4) - 2*(21*8^3) + 3*(21*4*8^3) = 7,893,276

Итак, количество шестизначных чисел в девятеричной системе с одной цифрой 4 и ровно двумя нечетными цифрами — это произведение количества чисел из первой части и второй:
229,376 * 7,893,276 = 1,812,393,107,776